植木算と比

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     1階から4階までは5秒かかるエレベーターがある。このエレベーターで1階から28階まであがったとき、何秒かかるか?

    小2のテキストからの出題です。

    小2でこの問題が解けるならかなりのセンスがあるということですが、

    今日の授業では積極的に取り組んでいました。さすがのクラスです。


    ほとんどの子が28÷4=7、5×7=35秒という答えでした。

    私が思うのは、確かにそれは間違いですが、彼らが教えられなくても、

    こういう比の感覚を持っているのだということに驚きを隠せません。


    ですから、35秒までいった子にはまずはほめてあげたいと思います。

    この問題にいくまでに、何問か植木算の練習をしていました。


    間の数と木の数を数える問題です。


    さて、この問題を特にあたっては、たまたま私たちの塾が4階にあるということで思いついた問題ですから、まずはビルの絵を書き、1階から4階までに間はいくつあるかという話をしました。


    当然図を書いていますから3つということがわかります。


    つまりこの3つ分進むのに5秒かかるということです。


    子供たちが書いた5×7というのは、たとえば、4階と5階の間はエレベーターを使わないということになってしまいますね。


    1階から4階は3つ分だから、1階から28階までは、27こ分ということがわかります。したがって、27÷3=9で9回分ということになります。


    したがって、5×9=45秒となります。こういう説明をしている時に、子供たちの声が聞こえます「あーそっか。」「あーしまった。」「うわー。」こういう声をだしているということは、頭が働いて理解しようとしているということがわかります。


    ただ、手を動かさず、ぼーっと先生の解説を待っているようでは、なかなか力はつきません。手を動かしたから、自分の考えと先生の解説の比較対照ができるのです。そういう手を動かす子にぜひなって欲しいと思います。


    また、そういう指導ができるような先生に私たちはならなければと思い、日々精進しています。



    11の倍数の見分け方

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       5けたの整数3□5□□のうち、11で割り切れるもっとも大きな整数を求めなさい。(大阪星光学院)

      倍数判定法というのを中学受験では、どの塾でも習います。2の倍数は、一の位が偶数であればよい。3の倍数は、各位の和が3の倍数等です。ですから、倍数の問題になるとすぐにこの倍数判定法というものがポイントになってくるのですが、それを知らなくても、解ける問題です。

      5けたの整数の中で一番大きいのは、39599ですね。これを11で割ります。そうすると、3599あまり10になります。したがって、11で割り切れるもっとも大きな整数は、この数より10少なければよいので、39599−10=39589です。

      一応、11の倍数判定法も書いておくと、

      「一の位から1つとばしの位の和 9+5+3=17」

      「十の位から1つとばしの位の和 8+9=17」

      この二つの差が11の倍数であればよい。

      この問題ですが、17−17=0になりますね。

      当然、0は11の倍数ですから、答えになります。

      判定法を知っている人は、

      3+5+ア=イ+ウを使って

      ア=9、イとウは9と8となるので、39589と解くと思いますが、

      11の倍数判定法は興味があれば覚える程度でよいでしょう。

      まずは、いろいろ鉛筆を使って考えてみることが大切ですね。


      平均の均は何と読む?

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         20円ずつねだんのちがう5種類のノートを1冊ずつ買うと1000円でした。

        一番安いノート1冊の値段はいくらですか?(2010 奈良育英B)


        さて、今日の問題ですが、20円ずつちがう5種類のノートを1冊ずつ買うと1000円でした。

        中学の数学のように解くと、一番安いノートをXとするt、5冊のノートは、

        X、X+20、X+40、X+60、X+80とあらわすことができます。したがって、5冊の合計は、5X+200=1000となり、5X=800、X=160円となります。

         ところが、中学入試は方程式という考え方ではなく、もう少し柔軟な考え方が必要になってきます。


        5冊かって1000円だったのだから、1000÷5=200円になりますね。

        この200円が何を表しているのかを考えてみましょう。


        そう、平均ですね。


        平均の均は、均すと書いて「ならす」と読みます。土を均すというときに使うものです。5冊のノートの平均でならす必要がないものは、安い方から3番目のノートです。したがって、3番目のノートが200円ですから、そこから20円ずつ安くしていけば1番安いノートがわかりますね。200ー20ー20=160円になります。

        このように、平均という考え方が、全体量÷全体の数という暗記ではなく、意味をしっかりわかっている人は方程式のような考え方をしなくてもよいのです。


        まったくの余談ですが、私が中学生の時は毎日グラウンド整備がありました。均すときいてすぐに納得できたのもそういう経験があったからかもしれません。


        東大寺中学2010 0の数を求める スロットみたいな問題

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           整数aの中に現れる0の個数をn(a)と表します。例えば、n(1000)=3,n(2010)=2です。このとき、次の問いに答えなさい。
          (1)1から199までの整数のなかに現れる0の個数の和
             n(1)+n(2)+・・・+n(199)を求めなさい。

          (2)1000から1999までの整数のなかに現れる0の個数の和
             n(1000)+n(1001)+・・・+n(1999)を求めなさい。


          なんだか、難しい問題だけど、ようは0の数を数えてねということを難しい言葉で伝えているだけ、まぁ受験生にとっては難しい言葉とは思わないだろうけど。

          (1)1から199までの0の数を数えなさいということだから、何個か例を考えてみる。
            10、20、30、・・・と、100と101、102、・・・110、120、130

            こういう0の数を数える問題は、スロットみたいに、ある位の数を止めてしまえばいい。
            たとえば、一の位を0で止める。

            そうすると、□□0ということだから、あとは□の選び方の問題に変わる
            □□には、01から、19までの19通りがある。百の位の0は数えちゃ駄目。

            次に十の位を固定する。□0□そうすると、□□の選び方は10から19までの10通り。

            よって19+10=29。29通りくらいだったら、十分書き出せる。
            難しいといって手が止まるくらいだったら、がんがん書いていった方がいい。
            書いているうちに規則性が見えてくるように人間の脳はできてんだから。


          (2)同様に1000から1999までもスロットのようにとめておく。
            この問題の面白いところは、千の位は1で確定しているから、考えなくてよい。
            こういうところ受験生への優しさがみえますね。

            一の位固定 1□□0→ □□は、00から99までの100通り
            十の位固定 1□0□→ □□は、00から99までの100通り
            百の位固定 10□□→ □□は、00から99までの100通り
           
            よって300。

          小学生はスロットは知らないだろうけど(ドラクエをしていれば解けたかも)。
          東大の問題でもそうだけど、闇雲に数えるのではなく、
          難しいときは、どっかを固定して考える。この考え方は大事です。


            


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