大学への数学 数列を強化することで自分も強化する

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    大学への数学8月号は、数列を強化するということで、数列を勉強し直しでいるんですが、やはり一問解くのに15分くらいかかるので、時間の確保が難しい。高校時代、どんだけ時間をかけて数学を勉強していたのかが不思議になるくらい高校数学って、奥が深くて勉強になる。
    そして、何より数列は美しい。THE MATHって感じです。特性方程式とかは、微分方程式の時でも使うので、なるほどーと勉強になります。公式に頼らず、考えて解くのが私のポリシーですので毎日3問ずつやっていきます。

    どんな問題?
    こんな問題です。どれも基本問題で、良質の問題です。



    「(-2)×(-3)」が「+6」になる理由 中学校数学

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      正負の計算で質問メッセージを頂きました。
      ありがとうございます。

      (−2)×(−3)=6になる理由を教えてください。

      こういう時、教え方は2つあって、

      1つ目は、
      とにかくそういう風になるという教え方。

      異符号のときは、「ー」で、同符号のときは「+」
      こういう考え方で教えて理解できるのならそれはそれでオッケーだと思います。

      計算の答えを出すためだけなら、そういうルールになっていると教えることが大事ですし、
      それを否定するつもりもありません。

      でも、さらに子どもたちに聞かれたらどうでしょう。
      ルールは分かったけど、じゃあこういう式になることってあるの?ってことです。

      複素数平面の考え方をすれば、−1倍は反時計回りに180度回転ということと同じ意味です(反時計周りに90度回転がi倍です)
      まぁそれは高校レベルになるのでおいておいて(こういうのを中学生に話をするととても喜びますが上位向け)。。。

      二つ目は、具体的な方法で考えるです(時間はかかるが必ず納得できます)。

      具体的な例を出して考えてみましょう。

      毎日100円ずつ貯金します。今日からスタートして1週間後にはいくら貯金できていますか。
      こういう問題だと、
      100×7=700円
      (答え)700円
      となります。小学校レベルの問題です。では次はどうでしょうか。

      貯金から毎日100円ずつつかいます。今日からスタートして1週間後にはいくらつかいいますか。
      100×7=700円
      (答え)700円
      となります。

      毎日100円ずつ貯金しています。1週間前の貯金の総額は今よりいくら少ないですか。
      100×7=700円
      (答え)700円
      となります。

      貯金から毎日100円ずつ使っています。1週間前の貯金の総額は今よりいくら多いですか。
      100×7=700円
      (答え)700円
      となります。

      つまり、全部式は同じだし、答えも同じなんですね。小学校だとこういう問題になります。
      でも、中学校では「−」という概念が使えます。
      これは「基準」というものを新たに設定できるという超便利なツールなんですね。

      (ー)×(ー)ということは、二つの基準があるということを考えてください。
      つまり、
      一つ目の(ー)は、
      貯金することを(+)、使うことを(ー)とします。
      二つ目の(ー)は、
      日にちが進むことを(+)、日にちが戻ることを(ー)とするわけです。

      そうすれは、
      毎日100円貯金して、7日後は、(+100)×(+7)=+700
      毎日100円使って、7日後は、(−100)×(+7)=−700
      毎日100円貯金して、7日前は、(+100)×(ー7)=−700
      毎日100円使って、7日前は、(ー100)×(−7)=+700
      になります。

      式の答えで出てきた、(+)や(ー)は今のお金と比べて多い(+)か少ない(ー)ということです。
      計算結果の(+)や(ー)は何かの基準と比べての(+)や(ー)だということを理解してください。

      (ー)×(ー)の例は他にもこんな例ができます。

      1秒で2段の階段を降りる。
      3秒前は、どこにいるか。というと、

      昇ることを(+)、降りることを(ー)
      秒後を(+)、秒前を(ー)とすると、
      (−2)×(−3)=(+6)
      つまり、今いる位置より6段上にいることが分かります。

      なので、こういった負の数同士のかけ算がうまいこと考えつかない場合は、
      みんなでそういった事例を考えてみることが大切です。

      先生が、こうだからこうなるといってもあまりピンときませんよね。
      自分たちで基準をきめて、(ー)や(+)のルールをつくるとすごくよく分かると思います。

      温度とかでもいいですし、
      速さでもいいかもしれませんね。

      そういう事例をたくさん子どもたちに考えさせることによって、
      (ー)というものがどれだけ便利なのかが分かってきます。

      ただ、全部(ー)でやる必要はあるかというとそうではないです。
      さっきの問題でも、

      1秒で2段降りる。3秒前は?という問題でも、2×3=6 6段上と答えてもなんら問題はないのです。
      (ー)のルールをつくることによって、色々なことが計算できるようになる。便利になるということは、
      この後で学ぶ文字式や方程式にも繋がって行きます。

      楽しんで勉強できるといいですね。
      上手く理解できるように祈っております。


       

      MATH 場合の数 相似

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        今日は中学校の数学。
        当たり前のことを確認することで、
        スイスチーズの穴を塞ぐことができます。



        相似


        確率


        樹形図

        恐れることなかれ。関数はとても面白いんだよ。

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          今日は関数に関しての授業(中学校2年生程度)。

          関数ってすごくよくできていて、

          中学1年で比例・反比例
          中学2年で一次関数
          中学3年でy=ax^2(二次関数の一歩前)
          高校1年で二次関数
          高校2年で微分・積分
          高校3年で無理関数・指数関数(ここらへん曖昧)

          となっていく。各学年で必ず新しい概念を学ぶもの。
          この当たり一気通貫で学べるとどこへでも戻れるし、どこまでも行けると思います。
          ちょっとまたまとめてみよう!!!!

          今日は、比例からスタートして、それを上下に動かしての一次関数。
          y=ax+bを使って色々なことが分かるという話をしながら進めていきました。

          グラフをかいたり、図形が大好きなふるやまんとしては、このテーマ最高に面白いです。









          高校数学講座 因数分解&式の展開

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            高校数学講座2014年8月4日(月曜日)

            今日は、因数分解と平方根についてでした。
            中学校でも扱うテーマだけど、やはり高校になると、普通にたすきがけや考えさせる問題がでてきます。

            反転授業用の動画はこのように復習用にも使えるということです。
            きちんとマップつくってあげたいなぁ。



            限られた時間の中でどう楽しんで授業をしていくか。
            これも講師としての大事な仕事かもしれませんね。





             
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