eboardと算数 第2回「分数のわり算 おもひでぽろぽろ」分数のわり算はなぜ逆数のかけ算になるのか?

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    第二回目の今日は、分数のわり算について。

    突然ですが、質問です。

    分数のわり算はなぜ逆数のかけ算になるのか?

    というものにどうやって答えるか。
    これは結構難しい問題です。

    ただ、単に計算方法を覚えるだけでは、
    2/3でわったときに、答えが大きくなるのか、小さくなるのかさっぱり検討もつきません。
    おもひでぽろぽろでつまづいたのはそういうことなんじゃないかと思います。

    たとえば、
    3/5m^2のかべを2/3dLでぬれるペンキがあります。
    1dLでは何m^2ぬれますか。

    これは単位量あたりを求める問題なので、
    等分除と呼ばれるものです(これは小学校3年で学習します)。

    わり算ということにこだわらず

    2/3を1にするには何倍するかを考えればいいということです。

    丁寧に説明すると、
    まず2/3だとわかりにくいから1/3で考えたい。
    そうすると、3/5÷2=3/10が1/3dLあたりのぬることのできる面積になります。
    よってその3倍をすれば1dLがでてくるので、
    3/10×3=9/10になります。

    ようするに、単位量当たりを求めるために計算をするので、
    2/3を何倍すれば、1になるかを考えれば、3/2をかければいいことになります。

    つまり、2/3の逆数である3/2をかければ一人分や単位当たり量は求まるんですね。

    式で書くと、3/5÷2/3=3/5×3/2=9/10になります。

    3/5÷2/3は、単位量あたりを求めるわり算の式ですよね。

    8m^2の壁をぬるのに、4dLのペンキが必要だったら、
    1dLではどれくらいの壁をぬれるか

    という問題にしてあげれば、ほぼすべての子が理解できると思います。
    でも、両方分数になってしまうと、どっちがどっちか分からなくなるので、
    今書いたように単位量あたりを求めるっていう方法は効果があると思います。

    つぎに、おもひでぽろぽろにあるように、

    こういう問題をみてみましょう。

    2/3個のリンゴを1/4で割るってどういうこと?

    とにかく!逆をかければ良いの!!

    ってことにならないようにしないといけません。

    さらに、なんで1/4で割ってるのに答えの方が大きくなってんの?
    と続きます。鋭い質問です。

    この問題、まずは問題がイメージしにくいところが最大の原因です。
    リンゴを1/4で割るっていう設定がなかなかありません。
    こういう風に考えてみましょう。

    2/3個はふるやまんが食べる予定の1/4でした。
    ふるやまんが食べる予定のリンゴは何個ですか?

    そうすると、1/4が2/3なんだから、1が予定の量だとすると、
    2/3の4倍をすればいいことが分かります。
    2/3×4=8/3になりますね。
    つまり、わり算なんてしない方がいいんですよ。結局かけ算なんだから。
    といってしまいたくなります。

    でも、心優しいクラスメイトだったとしたら、こういう風に答えます。

    2/3個のリンゴをさらに1/4ずつ分けると、
    2/3÷1/4になるよね。

    ここで分数の計算が苦手な人は÷1/4が4人で分けるのと何が違うのかを
    まったく理解できないということです。
    4人で分けるは÷4なので、違うということを先におさえておいて、

    このままで計算するのは、難しいから次のように考えようということで、

    たとえば20÷4=5 これは誰でもできますね。

    じゃこれはどうでしょう。

    (20×2)÷(4×2)=40÷8=5

    これは何をしたかというと、わられる数とわる数に2をかけて、わる数を1にして考えてみただけなんです。これが逆数をかける意味です。

    2/3÷1/4のわられる数とわる数にそれぞれ4をかけてみましょう。
    (2/3×4)÷(1/4×4)=8/3÷1になって答えは、8/3になります。

    わられる数とわる数に同じ数をかけたら答えは変わらないという性質を利用したのです!

    だから、逆数をかけることで分数のわり算はできるんだねー。
    っていう説明で理解できればいいですが、いちいちそんなことを考える人がクラスの中に何人いるかは疑問です。でも、そういう本質的なことをきちんと説明するのが先生の仕事だと思うし、もうやってるからーととにかく逆数をかけてしまう人には、ちょっと意地悪な先生になる必要もあるんじゃないのかなぁって思ってます。

    計算方法自体に間違いはありません。それは決められたルールでそういうものなんです。でも、なぜそういう計算ができるのかということは正しく理解しておいて欲しいと思います。

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