じゃんけん問題 じっくり考えている暇はありません

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     AとBの2人が、34段ある階段の17段目にいます。そこから2人はじゃんけんをしました。どちらか一方が34段目にあがるまで、次のように階段を上がることにしました。

    「勝った方は2段上がり、負けた方は1段下がる。あいこのときは2人とも1段上がる。」24回目のじゃんけんをした後、AとBは同時に34段目に上がりました。途中、5回目のじゃんけんをした後のAの位置は20段目でした。

    (1)5回目までのじゃんけんで、あいこであった回数は□回、または□回です。
    (2)24回のじゃんけんのうち、あいこであった回数は□回です。
    (3)AとBがどんなに離れていたとしても、考えられる階段の差は□段です。


    じゃんけんの問題は本当によくでてくる。ついでに階段を使った問題も多い。
    場合の数の場合は、こういった日常的な題材を元にするのが中学受験の基本だ。

    昔は、「グリコ、チョコレート、パイナップル」といって遊んでいたが、今の子ども達はどうだろうか。

    さて、この問題もそうだが、場合の数の問題は、条件整理から始めてみよう。

    階段が34段あって、17段目にA,B両方いる。
    ルールとしては、
    勝ったら2段上がる(+2)
    負けたら1段下がる(−1)
    あいこだったら1段上がる(+1)

    24回目のじゃんけんをした後、同時に34段目に上がった→24回目があいこは確定!

    途中、5回目のじゃんけんをした後のAの位置は20段目(ということは初めから+3)

    ここまで条件整理をしたら、問題に取り組んでOK.

    (1)5回目までのじゃんけんで、あいこであった回数は何回か?

    もちろん、この問題を解くにあたって使う条件は、最後のAは+3の状態であるということ。
    全部Aが勝ったとしたら、+10
    4回Aが勝ったとしたら、+8
    のこり1回があいこだったら+9、
    のこり1回が負けなら+7
    3回Aが勝ったとしたら、+6
    のこり2回があいこだったら+8
    のこり1回があいこで、1回が負けなら+6
    2回Aが勝ったとしたら、+4
    のこり3回があいこだったら、+7
    のこり2回があいこで、1回が負けなら+5
    のこり1回があいこで、2回が負けなら+3  → これであいこ1回は確定。
    1回Aが勝ったとしたら、+2
    のこり4回があいこだったら、+6
    のこり3回があいこで1回負けなら+4
    のこり2回があいこで2回負けなら+2
    のこり1回があいこで3回負けなら0
    Aが1回も勝てなかったら、+0
    のこり5回があいこだったら、+5
    のこり4回があいこで、1回負けなら+3 → これであいこ4回も確定。

    よって、あいこは4回か1回であることが分かりました。

    めんどくさいですよね。でもめんどうでもやればできるんだからやりましょう。
    実際は、書いているうちに規則性に気づくはずです。

    あいこと負けを1回交換すると2段の差になることに

    そうすると、わざわざ丁寧に書いていますが、多分試験中は、暗号みたいに、
    ○△× 212 3
    みたいに計算できるはずです。
    丁寧に書くことも必要だけど、記号化して考えることも大事。

    (2)24回のじゃんけんのうち、あいこであった回数は何回ですか。

    ポイントは、最後にはAもBも同時にゴールしているということです。
    どちらかが圧倒的に勝ったということではないのですから、
    AとBは同じ数勝っている可能性が高いですよね(この地点では予測でかまいません)。

    24回のじゃんけんを12勝12敗ですると、24段上がり、12段下がるので、+12になります。
    これだと17+12=29段目までいくことになり、34段目までいけません。

    そこで、11勝11敗を考えると、同様に+11になり、
    17+11+2=30段目になります。(+2を忘れないことがポイントです)。

    1勝減らすことで1段増えるのですから、
    34段になるのは、34−29=5の7勝7敗のときのはずです(確認してみましょう)。

    7勝7敗は14段あがり、14段下がるので+7
    17+7+10=34段(うん、確かにあっている。これで受験生は安心します)。

    よって、あいこは10回です。

    (3)AとBがどんなに離れたとしても、考えられる階段の差は何段ですか?

    私がこの問題を始めて解いたときは、7勝7敗だから、7敗して、その後7連勝すればいいじゃんと考えたわけです。だから差は7敗したときの3×7=21段として撃沈。

    子ども達と同様、先生だってこんなミスをするのです(しない先生もいますが)。
    でも、こういうミスをするからこそ、子ども達にポイントを伝えられることもあります。負け惜しみ。くー。この問題の条件を読み落としていたのです。それは5回終わったときの条件が与えられていることです。

    (1)で細かく調べてよかったー。なのにそれを使っていない愚か者め(自分に対してです)。
    5回目でAは、2勝2敗1分けか、1勝4分け1敗なわけですから、連敗はしてないわけです。ということでこの2つで場合分け。

    ちゃんと(1)が(3)のヒントになってるんですよ。受験の基本ですよね。バカバカ。

    Aは、2勝2敗1分けのときは、このあと5連敗し、5連勝(またはその逆)なので、
    3×5=15段の差になります。

    また、1勝4分け1敗の時は、このあと6連敗し、6連勝(またはその逆)なので、
    3×6=18段の差になります。

    よって、最大になるのは、18段です。これが最大ですよ。

    これくらいの条件なら5分くらいで答えてほしい問題です。
    考えてるだけじゃなく、手をとにかく動かそう。
    何かが見えてくるから。

    がんばれ受験生!あともう少し!


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