西大和学園中学 2016年 算数 所感

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    算数を解きました。

    生徒が受験したので、解説してほしいということだったので、
    せっかくなので全問解説(というか解いただけですが)作りました。

    所感

    大問1
    計算 ここは基本なので絶対に落とせません。(3)めんどくさいけどこういうの解ける努力をやはり入試までにしておきましょう。
    濃度 てんびんで攻略しましょう。
    年齢算 丁寧に条件整理しましょう。
    整数論 2進数の応用です。
    速さ 速さといえばふるやまんはダイヤグラムでしか解けません。
    推論 表でまとめて考えましょう。

    大問2
    西大和といえば平面図形です。ここで2問はとっておきたいところです。

    平面図形
    (1)角度 多角形の内角は大丈夫ですか。それをつかっていくだけでとくことできます。
    (2)中心の軌跡 長方形ならやったことはあるでしょうが、平行四辺形だとどうでしょう。図を丁寧にかくことができれば、3:4:5の三角形をうまく使えるのではないでしょうか。
    (3)へんてこな三角形は等積変形で求めやすくしてしまいましょう。融合問題としていい問題です。
    (4)直角二等辺三角形といえば正三角形!という感覚をもちましょう。そのあとに相似を使う。うーん。絶妙。

    立体図形
    (1)基本問題 これは落とせません。
    (2)応用問題 もう何年前でしょうか。四天王寺中学の入試問題でみた記憶があります(記憶違いかも)。
    (3)応用問題 基本を利用して解く問題です。いちばん奥の立体をたし忘れたりひきすぎたりしないことです。
    (4)応用問題 一見難しそうですが、実は簡単。計算はめんどくさいけどこういうのとれると合格引き寄せられるよね。

    場合の数
     大学入試を意識したような問題ですね。
     でも、例年の西大和らしさ?はなく、実にオーソドックスな問題でした。
     中学に入ってからの数学を意識していますね。

    西大和の過去問を研究し、
    中学受験の勉強をしっかりととりくんでいれば解ける問題が多かったです。
    努力がそのまま結果につながったのではないでしょうか。

    こちらからは以上です。


    西大和 平成21年 大問1 整数論

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      おはようございます。
      時間があれば、もっと面白い問題を紹介したいのですが、
      今日から会社に復帰しますので、昼休みに
      ワクワク100題を伝えることができればと思っています。

      では、本日の西大和の問題

      Aを整数とし、次のような記号を考えます。
      記号[A]=A×A×A
      たとえば、[3]=3×3×3=27になります。
      このとき、[1001],[1002],……,[2000]
      の1000個の整数の1の位の数だけ
      たしあわせるといくつですか?(一部改題)

      この問題を読んだ時に、
      1001×1001×1001を想像した人は残念ながら次のステージにすすめません。
      でも、入試っていうのは、そういう風に考えてしまうものなんです。
      だから、こういう風に考えては駄目だ!ということはないです。

      すべては、こうとちゃうかなという予測から問題を解くことは
      スタートします。
      さて、そうしてしまったら、問題を良く読んで、
      1の位の数だけってかいてあることに注目しましょう。

      ということは、なんだこれは周期を使った整数論の問題かという風になります。
      だから、とりあえず一の位はおいておいて(っておい!)、
      どんな周期かを考えましょう。

      1001から2000までは、1000の整数がならんでいます。
      もちろん一の位は、0から9までの10個の整数を繰り返すので
      1000÷10=100回繰り返すということがわかればオッケーです。

      ということは、
      0から9までの数をそれぞれ3乗した数を合わせた数を百倍したもの
      が答えになるんだなということができます。

      ここまでが、方針・探査と言われるものです。
      今まで自分がやってきた問題の中で使える知識は何かと考えるのです。

      じゃやってみましょう。
      0は明らかなので省くとして、
      便宜上、×は*で表します。
      1*1*1=1
      2*2*2=8
      3*3*3=27
      4*4*4=64
      5*5*5=125
      6*6*6=216
      7*7*7=343
      8*8*8=512
      9*9*9=729 

      1の位をみると、なんと1から9までがそれぞれ一つずつあるじゃないですか。
      ということで1から9までの和は45
      45×100=4500が答えになります。

      めんどくさいなと問題を読んだときに感じるかもしれませんが、
      西大和の大問1は、素直な問題が多いです(最後をのぞいて)。
      だから、それを確実にとれる練習をしておくと合格にぐっと近づきますね。

      ちなみに、
      二乗するとどうなるかというと、
      1*1=1
      2*2=4
      3*3=9
      4*4=16
      5*5=25
      6*6=36
      7*7=49
      8*8=64
      9*9=81

      となります。1の位を合計すると、45やっぱり45になります。
      ということは・・・こっから先は自分で考えて欲しいと思います。
      この先を考えることが算数や数学の醍醐味であると思うのです。

      入試を超えた、算数や数学を楽しむということですね。
      では会社にいってきまーす。

      みなさん今日も一日頑張ってくださいね。


      西大和 平成20年度 大問1 整数論

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        入試まであと何日と呼ばれるような季節になってきたので、
        一応このブログ「ふるやまんの算数塾」というように、
        元々は中学入試の問題を解説する目的でつくったブログですが、
        いろいろと自分のことを書いていると本来の目的を忘れそうになります。

        今考えているのは、ブログから脱却して、自分のホームページをもう一度
        つくることなんですが、なかなかそのような時間もない現状ですので、
        ブログで我慢しているところです。

        ですが!いつかは必ずホームページを持ちたいですね。

        さて、問題

        ある400より大きい整数があります。
        その整数を23で割ると、商とあまりが等しくなります。
        このような整数は全部で何個あるか答えなさい。
        制限時間(2分)

        うーん。なんてマイルドな問題。
        中学入試の解説の再開にはぴったりの問題です。

        さて、これ400より大きい整数という条件がなかったら・・・と考えてみましょう。
        そうすると、商とあまりが等しくなるのは、
        22個ですよね。あまり1から22までで、商も1から22まで存在しているから。

        まずこの知識が出てこないことには解けない問題なんです。
        つまり、西大和を受験しようと思ったら、
        この知識は、何も考えなくてもでてきて当然というレベルでしょう。

        で400より大きい整数とあるんだから、
        あとは調べていく作業は必要です。

        これも商とあまりを代入して解いていく。でもいいですが、
        なんせ入試問題っちゅうのは、時間との勝負。
        どれだけ効率的に問題が解けるかということも試されるんですね。

        これが普段私がやっているのらりくらりの勉強とは違うところ。

        23と400という数字をみて、だいたい20くらいかなぁ

        という考えがうかぶかどうかです。
        23×20=460で、
        460ー23=437(23×19)
        437ー23=414(23×18)
        414−23=391
        あぁこれ400より小さいから、
        18から22までの5個といって、撃沈した受験生多いと思います。

        丁寧にしていけば間違いないのに、こういう効率化の勉強をして、
        結局点数を落とす人ってたくさんいます。

        大学入試ならば、まだ部分点という救いの手はありますが、
        中学入試は、答えだけを求める学校がまだまだ多いので、注意が必要です。

        400より多いってかいてんのに違うの?とまだ思っている人は、
        もう一度問題を振り返りなさい。

        今求めているのは、商と23の積であって、あまりを考慮にいれてないではないですか。
        あーーー。と授業ではいうんですよね。

        あーーじゃないでしょ。と心の中で叫ぶ私。

        でだいたいそういう人たちは、
        ケアレスミスしてしまった

        って言うんです(間違いなくいいます。あってたのにといいます)。
        違います。君たちは間違っていたんです。しかも惜しい間違いじゃなくって、
        これは不合格者の間違いです。

        ちなみに、400÷23=17…9になるので、
        これも18から22で5個と答える可能性があります。

        入試問題っていうのは、間違えるようにつくられてるんです。
        そうしないと受かる人と受からない人分けられないから。

        だから、17でも391+17=408でクリアできるということを理解できた人は、
        17から22までの6個という風に数えることができるんですね。

        でニヤリとするんです。
        これ5個って書く人いるんだろうな。
        でも俺はちゃんと6個ってかけてるから合格に一歩近づいたなぁ。
        なんて思いながら問題を解きます。

        ようするに、そういうここで間違える人は
        こういう間違いをするんだろうなって思える人はどんどん賢くなります。

        ちなみに先生が問題の予習をするときもそうです。
        問題が解けるのは当たり前(解いている問題数が違います)。
        どこでつまづくのか、この問題の肝はどこなのか。
        それを生徒の理解力によって、どこまでだすかを考えます。

        全部出すときもあれば、全く出さないときもあります。
        それは空気ですよね。

        だから、準備は大切なんですよ。

        君たちが問題を解いたとき、
        もしどっちかわからへんねど6個って書いて、

        「適当に書いたらあってた!」

        って自慢げにいう人(男に多いです)は、
        注意が必要です。

        受験まで、中学入試のちょっとした解き方を
        ふるやまんの視点から書いていきたいと思います。

        頑張れ受験生!

        ふるやまんはすべての受験生を心の底から応援しています!


        旅人算 西大和の入試問題より 塾の先生の存在意義

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          太郎君は、学校を出発して駅まで行き、
          また学校に戻ります。
          逆に、次郎君は駅を出発して学校まで行き、
          また駅に戻ります。

          太郎君と次郎君が同時に出発しました。
          その後、出発してから12分後に2人は初めて出会い、
          出発してからちょうど40分後に太郎君は学校にもどりました。

          そのとき、次郎君は駅からちょうど2kmの地点にいて、駅に向かって進んでいました。

          このとき、太郎君の速さと次郎君の速さを求めなさい。



          算数の苦手な人は、なんで折り返してるねん。戻ってくるなよ!
          とツッコミを入れたくなりますが、
          まぁそれは算数の問題なので仕方ありません。割り切りましょう。

          まず、初めてであったときに12分後です。
          そして、40分後に学校に戻ったとありますから、
          太郎君は、片道20分かかるということが分かります。

          ということは、初めてであったところからあと8分で到着するその道のりを
          次郎君は12分で歩いたことになりますから、
          太郎:次郎の速さの比=時間の逆比は、3:2になります。これが条件1。

          つぎに、ポイントになるのが、ちょうど2kmの地点にいるということです。

          太郎君はいってかえってきたら、次郎君との差は2kmになっていたということです。

          ということは、40分で2kmの差ができるんだから、
          60分では3kmの差になることがわかります。これが条件2


          速さの比が3:2ですから、
          太郎君の速さは3×3=毎時9km
          次郎君の速さは3×2=毎時6kmと分かります。

          この問題のポイントは、
          計算は小学校2年生でも十分できるということです。

          考え方が大事だということですね。

          速さの比と時間の比の使い方、概念の理解が大切です。
          でもなかなか小学生に解かせると解けないのですよ。

          なぜなら、速さはやっぱり道のり÷時間だし、
          時間は道のり÷速さというのが刷り込まれているからです。

          発想の転換も大事。基礎も大事。
          でも、どうやって解いて行くかを決めるのは自分。
          そういう練習をするにはどうすればいいか。
          それは

          自分で考えて間違ってもかまわないから
          答えを出す事。

          答えを出したら、解答をみて答え合わせをすること。
          自分の論理のどこに破綻があったかを検証すること。

          また、どんな知識があれば解けたのかを確認すること。
          そういうことを繰り返すうちにできるようになっていく。

          解き方だけ覚えても、それは誰かの解き方であって
          自分の解き方ではないですからね。

          もちろん解法としては大事だけれども、
          そんなことを教える先生いるなら、解説本買って読んだ方がまだましです。

          解説読んで理解して勉強できるなら塾は必要ないですからね。

          塾の先生が必要な理由は何でしょうか。

          それはそういった考え方の橋渡しをしてあげるということです。
          こういうところが分かっていないんだな。
          ここをヒントとしてあげれば一気に理解できるな。

          そういうことを考えて授業をするべきなのです。

          もちろん解説は考えていくけれども、
          その解説をそのまま解説する人はおそらく一流の先生にはなれません。

          子どもの対話の中で、ここは全部捨てよう。とか
          やっぱりここでひっかかったな。ここをもう一度復習させようとか。
          そういうプランが大事なのです。

          プランを立てて上手く行かなかった。
          「まったく子どもが理解できていない!」
          といって怒る先生がいらっしゃいますが、
          それは子どものせいじゃなくって、
          先生の用意が悪いんじゃないんですかといいたい。

          少なくとも子どもの授業時間くらいは授業準備に必要ではないかと思う。
          若いうちはそれこそもっと必要だけれども。



          西大和 平成19年度 久しぶりに解いてみると・・・

          0
            朝時間があったので久しぶりに解いてみた。

            最近、大学への数学ばかり解いていたので、
            中学入試の問題文の長さにまずは疲れたというのが正直の印象。

            特に西大和の問題は、説明が長い。
            新傾向の問題が多いから仕方ないんだけどね。

            では3、4科

            大問1は小問集合。
            計算が2問
            あとは時計算、濃度、旅人算と基本的な問題がならぶ。
            旅人算はあとで紹介しようっと。

            大問2は幾何。
            西大和の幾何はいつも面白い。
            今回も面白かった。

            大問3は規則性
            めんどくさいの一言。
            でもしっかり作業すれば答えが出る。
            とりあえず(3)パスして(1)(2)をしっかり取ることだね。

            大問4は速さの問題。
            昔神戸女学院の問題でみたか甲陽でみたかのような問題。
            それだけ典型問題ってことです。
            大学入試でもよく見かける問題だから、
            作図が大事ということは言うまでもない。
            これも(1)を確実にとって、(2)は時間との勝負。

            大問5立体図形
            とりあえず場合分けなので(1)がまずしっかりできるかどうかがポイント
            まぁサイコロの見取り図くらいは受験生はできるだろう。

            あとはイメージする力の勝負です。

            久しぶりに解くとやっぱり頭がぼーっとしてしまう。
            なんだろうな。

            特に西大和だからというのもあるかもしれない。
            でもまぁ問われていることはいつも同じ。

            手を動かすこと。
            典型的な問題は確実に取る事。

            受験では特別な力はいりません。
            あとは、問題を取捨選択する力です。

            頑張れ受験生!



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